El enlace se abrirá en la misma ventana

euskadi.eus

Inicio

Estás en:
  1. Inicio
  2.  
  3. Lur
  4.  
  5. Enciclopedia temática
  6.  
  7. Indice

Matematika»Analisiak

Funtzioen azterketa orokorra

Funtzioak aplikazio asko dituzte zientzia guztietan, eta analisi matematikoaren helburu nagusi dira. Gehienetan funtzio baten adierazpen aljebraikoa ezagutzen da, hau da, funtzioa ematen duen y =f(x) formula; horregatik, adierazpen aljebraiko horretatik abiatuz funtzioaren ezaugarriak ateratzean jakitea hain garrantzitsua da.

Gai honetan problema hau landuko da, eremua, simetriak, asintotak eta funtzioaren adierazpenetik zuzenean lortzen diren datu orokorrak, deribatuaren bidez lortzen diren gorapena eta muturrak bezalakoekin elkartuz. Datu hauen laburpena funtzioaren grafikoaren bidez, hau da, (x,f(x)) erako puntu-multzoaren bidez azal daiteke . Lortzen diren datuak, ez dute funtzioaren ezagutza osoa ematen, horretarako funtzioko infinitu puntuak jakin beharko liratekeelako, baina ezaugarririk garrantzitsuenak ematen ditu.Funtzioaren azterketa egiterakoan, puntu garrantzitsuren bat ez ahazteko, ordena egoki bat jarraitu behar da, nahiz eta askotan, kontuan hartzeko baliorik ematen ez dutelako, puntu bat baino gehiago baztertzen den.Orden eroso bat hau izan daiteke :- f-tik zuzenean ateratzen diren tasunak.Izate-eremua eta ibiltarteaSimetriaka) OY ardatzarekiko simetria. Funtzio bikoitia b) Jatorriarekiko simetria. Funtzio bakoitiaPeriodikotasunaf-ren zeinua. X'X ardatzarekiko ebaki-puntuakBornapenaKonbergentzia edo hurbildura. Asintotak a) Asintota bertikalak b) Asintota horizontalac) Asintota zeiharraJarraitasuna.Y'Y ardatzarekiko ebaki-puntuak. Puntu lagungarriakOndoz ondoko deribatuetatik lortutako f-ren propietateak.Monotoniaa) Tarte gorakorrak b) Tarte beherakorrakMuturrak : Maximo eta minimoakAhurtasuna eta ganbiltasuna a) Tarte ahurrak b) Tarte ganbilakInflexio-puntuak

 

I. Izate-eremua, ibiltartea, simetriak, zeinuak.

Atal honetan funtzioaren formulatik, limiteak eta deribatuak aplikatu gabe ateratzen diren ezaugarriak aztertzen dira.

 

1. Izate-eremua

f funtzio baten izate-eremua, funtzioa definitua dagoen zenbaki errealen multzoari esaten zaio.Praktikan, y = f(x) adierazpenaren bidez emandako funtzio baten izate-eremua ez da zehazten, halakotan, y = f(x) adierazpenak zentzua duen izate-eremurik handiena bilatu behar da.• Adibideak:1. Bilatufuntzioaren izate-eremua.Frakzio bat denez, izendatzailea anulatzen ez den beste balio denetan definituta dago.eginez x = 2 edo x = 4 lortzen da. BerazE = R - {2,4}.2. Bilatufuntzioaren izate-eremua.Erro karratu funtzioa definituta dago errokizuna 0 baino handiagoa edo berdina denean; beraz, kasu honetan f definituta dagodenean, edo gauza bera denez,funtzioa positiboa denean. g funtzioaren grafikoa 1. irudikoa da, eta bertan ikusten denez, R - (1,2) tartetan definituta dago.3. Bilatufuntzioaren izate-eremua.Logaritmo funtzioa definituta dago, zenbakia 0 baino handiagoa denean ; beraz f definituta egongo da

 

2. Simetria

a) OY ardatzarekiko simetria. Funtzio bikoitiaf funtzioa bat, Y'Y ardatzarekiko simetrikoa dela esaten da, izateeremuko edozein f(-x) = f(x) denean. f funtzioa, funtzio bikoitiadela ere, esaten da.P(x,y) puntu bat f grafikakoa bada, eta f funtzioa Y'Y ardatzarekiko simetrikoa bada, orduan P'(-x,y) puntua ere grafikakoa da.

Beraz, abzisa negatiboeri dagokion grafika zatia abzisa positiboeri dagokion grafika zatiaren simetrikoa da Y'Y ardatzarekiko.Adibidea., funtzio bikoiti bat da.b) 0(0,0) jatorriarekiko simetria. Funtzio bakoitia.f funtzioa bat jatorriarekiko simetrikoa dela esaten da, izate-eremuko edozein x-entzat f(-x) _ - f(x) denean. f funtzioa, funtzio bakoitia dela ere esaten da.P(x,y) puntu bat f grafikakoa bada, eta f funtzioa jatorriarekiko simetrikoa bada, orduan P'(-x,-y) puntua ere grafikakoa da. Beraz abzisa negatiboei dagokien grafika zatia, abzisa positiboei dagokien grafika zatiaren simetrikoa da jatorriarekiko.• Adibidea :funtzio bikoiti bat da.• Adibidea:1.bada, orduan; beraz, f-ren grafikoa Y'Y ardatzarekiko simetrikoa edo bikoitia da.2.bada, orduan; beraz, f-ren grafikoa jatorriarekiko simetrikoa edo bakoitia da.3.bada, orduan; beraz, ez da jatorriarekiko simetrikoa.

Baina ez da Y'Y ardatzarekiko simetrikoa ere, izan ere,

 

3. Periodikotasuna

f(x) funtzio bat periodikoa da periodoa deritzan eta nulua ez den T zenbaki erreal bat existitzen bada, izate-eremuko edozein x baliorentzat f(x + T) = f(x) dela betetzen dena.F funtzio periodiko bat bada, eta T periodo bat,, ere periodo bat da. T periodo duen funtzio periodikoa aipatzen denean, T periodorik txikiena dela ulertzen da. Periodo honi periodo nagusi esaten zaio.(x, x+T) periodo bateko baliotarako funtzio baten grafikoa ezaguna bada, OX ardatzean traslazio bat eginez atera daiteke funtzio osoa.Funtzio Trigonometrikoak funtzio periodikoak dira :• Adibideak :1.funtzioa, funtzio periodikoa da, eta bere periodoa p da, izan ere,

 

4. f funtzioaren zeinuak. X'X ardatzarekiko ebaki-puntuak

f funtzioak E izate-eremuan hartzen dituen balioen zeinua honako erlazio hauen araberakoa da :a) f(x) > 0, funtzioa hertsiki positiboa da.b) f(x) = 0, funtzioa nulua da.c) f(x) < 0, funtzioa hertsiki negatiboa da.b)-n lortutako x puntuak, funtzioaren erro edo zeroak dira. Geometrikoki, funtzioak eta abzisa-ardatzaren arteko ebaki-puntuak dira.• Adibidea :1. Aztertufuntzioaren zeinua.f funtzioaren zeinua aztertzeko, zenbakitzailearen eta izendatzailearen zeinuak, zein bere aldetik hartuko dira, eta gero batera zatidura bezala hartuko dira.

 

5. Bornatzea eta ibiltartea.

Funtzio bat bornatua dago ibiltartea bornatuta dagoenean. Funtzioa bornatua badago, honako hau kalkulatu daiteke :a) Goi-muturra. Ibiltartekoa bada, maximoa deitzen zaio.b) Behe-muturra. Ibiltartekoa bada, minimo deitzen zaio.Funtzio bat bornatuta badago, haren grafikoa y = goren(f) eta y = beheren(f) zuzenek mugatutako tartean dago.• Adibidea:1. Aztertu f(x) = cos x funtzioaren bornatzeaDakigunez, kosinu funtzioaren baliorik handiena 1 da, eta baliorik txikiena -1 da ; beraz goi eta behe-bornatua dago.Bere grafikoa y = 1 eta y = -1 zuzenek mugatutako bandan dago.2. Aztertufuntzioaren bornatzea.

Baliorik handiena x = 0 eta f(0) = 1 denean hartzen du.

Funtzioa beti positiboa denez, behe-borne bat y = 0 da.

Behe-muturra zein den ikusiko dugu. Honako hau daukagu :Funtzioaren asintota horizontala y = 0 = beheren(f) zuzena da.y = f(x) funtzioa emanda, ibiltartea aurkitzeko erarik errazena,alderantzizko funtzioaren izate-eremua bilatzea da.Adibideak :1.. Alderantzizko funtzioa. y bakanduz edo despejatuz :. Funtzio honen izate-eremua, zenbaki erreal positiboek, zeroa barne, osatzen dute. Beraz hori da lehenengo funtzioaren ibiltartea.2.funtzioaren alderantzizko funtzioada. y bakanduz, xy + x = 1 denez,

 

I I. Asintotak. Jarraitasuna.

L'Hopital-en erregela

 

1. Asintotak

Atal honetan, hasteko, x edo y hautaz oso handiak edo oso txikiak, hau da oo-rantz jotzen dutenean, zer gertatzen den aztertuko da.Egoera desberdinak,-rantz jotzen duen aldagaiaren arabera sailka daitezke :y-k mugarik gabe gora edo behera jotzen du, hau da-rantz edo-rantz jotzen du, x aldagaiabalio finitura hurbiltzen denean.

Hau gertatzen 9. irudiko x = 1 puntuan. Kasu honetan kurbaren grafikoa zuzen bertikal batera hurbiltzen da, eta funtzioak asintota bertikal bat duela esaten da.x aldagaiak mugarik gabe gora edo behera jotzen du, y menpeko aldagaiak k balio finitu baterantz jotzen duen bitartean. Kasu honetan, grafikoa zuzen horizontal batera hurbiltzen denez, kurbak asintota horizontal bat duela esaten da. Hau gertatzen da 10. irudian y = 0 zuzenarekin.-rantz edo-rantz doanean, y aldagaia ere, hautaz, gora edo behera doanean. Infinitu balio horretara hurbiltzen den eraren arabera egoera desberdinak bereiz daitezke :Kurba zuzen batera hurbiltzen da, orduan, kurbako y aldagaia, edozein zuzenetan egiten duen baino lasterrago edo geldiroago haz daiteke,kasuan bezala zuzen batera hurbiltzen denean, kurbak asintota zeihar bat duela esaten da.-rantz zuzen batean baino lasterrago jotzen badu, adar paraboliko bertikal bat duela esaten da. Hau daedofuntzioetan gertatzen dena.-rantz zuzen batean baino geldiroago jotzen badu, adar paraboliko horizontal bat duela esaten da. Hau da y = ln x edofuntzioetan gertatzen dena..eta-rantz jotzen dutenean ikusitako hau zailtasunik gabe

 

a) Asintota bertikala

Bedi f funtzio bat, bere izate-eremua R-ko E duena.zuzena asintota bertikala dela esaten da, honako hau betetzen denean :hau da,-n asintota bertikala izateko, gutxienez limiteetariko batek existitu behar du eta limite horrek infinitu izan behar du.Funtzio baten asintota bertikalak, i), ii), edo iii) erlazioetariko bat egiaztatzen duenzenbaki errealak zehaztuz lortzen dira.• Adibideak :1. Bilatu, funtzioaren asintota bertikalak.x= 0 deneanda.

Asintota bertikala x = 0 da.2. Bilatu, funtzioaren asintota bertikalak.Funtzio hau aurreko adibidean azaldutako funtzioaren aurkako funtzioa da. Bere asintota x= 0 izango du, izan ere :da.Bere grafikoa aurrekoaren OX ardatzerekiko simetrikoa du.3.funtzioaren grafikoa hiperbola aldekide bat da. x = 0 zuzena asintota bertikala da.funtzioak ere asintota bera dauka.

 

b) Asintota horizontala

Bedi f funtzio bat, bere izate-eremua R-ko E duena. y = k zuzena asintota horizontala dela esaten da, honako hau betetzen denean :edoAsintota horizontala izateko, gutxienez aurreko limite horietako batek existitu behar du.• Adibideak:1.funtzioaren asintota horizontala y = 0 da, izan ere2.funtzioa eta

 

c) Asintota zeiharra

-rantz, edo-rantz doanean y = mx + b zuzena y = f(x) kurba baten asintota zeiharra dela esaten da, funtzioaren grafikoaren eta zuzen horren arreko diferentzia gero eta txikiagoa denean, x gero eta handiago edo gero eta txikiago egin ahala. Honen ondorioz, ordenatuen arteko aldea gero eta txikiagoa da.x bakoitzarentzat honako hau daukagu :Argi dagoenez,-k zerorantz jotzen duenean asintota eta kurbaren adarra hurbildu egiten dira. Hori kontuan izanik definizio hau eman dezakegu :Bedi f funtzio bat, bere izate-eremua R-ko E duena. y = mx + b,, zuzena f-ren asintota zeiharra dela esaten da, honako hau betetzen denean :Asintota zeiharra izateko, aurreko limite horietako batek, gutxienez, existitu behar du.y = mx + b,asintota zeiharra zehaztuta geldituko da, m eta b-ren balioak ezagutzen direnean.Ikus dezagun nola kalkulatzen diren x-ek-rantz jotzen duenean :1) m maldaren kalkulua :mx + b gehitu eta kendupropietate banakorrabatura baten limitea=mizan ere lim (f(x) - mx - b) = 0 da.Berazbada, orduan, kurbak asintota zeihar bat dauka..  Kasu honetan m-ek asintotaren norabidea ematen du, eta "norabide asintotikoa" esaten zaio. Kurbaren adarra "hiperbolikoa" dela esaten da.•bada, orduan, kurbak asintota zeihar bat dauka, t- , x eta dagokion adarrari, OY norabideko "adar parabolikoa" esaten zaio.•bada, orduan, kurbak asintota zeihar bat dauka, eta dagokion adarrari, OX norabideko "adar parabolikoa" esaten zaio.Hiru aukera hauek 9. eta 11. iruditan ikus daitezke.2) b jatorri-ordenatuaren kalkuluam ezagutuez gero, b horrela kalkulatzen da :Beraz,• Adibideak:1. Bilafimtzioaren asintotak.a) Asintota bertikalak : x = 2b) Asintota horizontala : ez daukae) Asintota zeiharra :Beraz, asintota zeiharra y = x + 1 da.2. Bilafuntzioaren asintotak.Kasu honetan asintota zeiharra metodo orokorra erabiliz kalkula daiteke, baina praktikan, beste metodo hau oso egokia izaten da :(zatiketa egitea aski da)Beraz asintota zeiharra y = x - 1 da ; izan ere, x-ek plus edo minus infiniturantz jotzen badu, funtzioa y = x - 1 zuzenera hurbiltzen da,

 

2. L'Hôpital-en erregela

Funtzioak korapilatsuagoak direnean, asintotak kalkulatzeko egin behar diren limiteak ere korapilatu egiten dira. Kasu horretanedoedo indeterminazioak ebazteko balio duen L´Hôpital-erregelaerabiltzea komeni da. Zenbakitzaileko eta izendatzaileko adierazpenek,ohiko funtzioetan arazo ez diren jarraitasun eta deribagarritasun baldintza batzuk bete behar dituzte.edoerako indeterminazio bat bada, orduan,Erregela hau ,-rantz edo-rantz doan kasurako orokortu daiteke.• Adibideak :Baina erregela erabiltzen hasi aurretik, indeterminazioaedoerakoa dela ikusi behar da, izan ere holakoak gerta daitezke :Edo desberdina den beste hau :Aplikazioa :Bilafuntzioaren asintotakFuntzio hau R osoan jarraia da, eta ez dauka asintota bertikalik.

Asintota horizontalik duen ikusteko hau egingo da :L´Hôpital-ene erregela erabili ahal izateko,indeterminazioaerara pasa behar da :Beraz asintota horizontal bat dauka, eta bere ekuazioa-rantz doanean y = 0 da, eta

 

3. Jarraitasuna

Gogora dezagun : f funtzioa,puntuan jarraia da hau betetzen denean :

 

4. Y'Y ardatzekiko ebaki-puntuak. Puntu lagungarriak

Izan bedi y = f(x) funtzio bat. f funtzioaren grafikoak eta OY ardatzaren arteko ebaki-puntuak, honako sistema hau ebatziz lortzen dira:Beraz, ebaki-puntuak (0,f(0)) erakoak dira.

 

I I I. Ondoz ondoko deribatuetatik lortutako f-ren propietateak.

Monotonia, maximo eta minimoak, ahurtasuna eta ganbiltasuna eta inflexio puntuen azterketa deribagarria den edo ez den edozein funtziotan egin daiteke. Funtzioa deribagarria denean , propietate hauen azterketa sakona aurreko gaian egin da. Zorionez, oinarrizko maila honetan erabiltzen ditugun ia funtzioa denak, puntu bakan batzutan ezik, beste denetan, deribagarriak dira.Deribatuekin landu behar diren puntuak, laburbilduz, hauek dira :

 

f '(x) lehenengo deribatuarekin :

- Tarte gorakor/beherakorrak.-entzat, f '(x) > 0 bada, y = f(x) funtzioa (a,b) tartean gorakorra da.-entzat, f '(x) < 0 bada, y = f(x) funtzioa (a,b) tartean beherakorra da.

- Mutur erlatiboak : f(x) funtzioa,- ren ingurune batean deribagarria bada, etabada.-entzako positibo izatetik,-entzako negatibo izatera aldatzen bada, funtzioak maximo erlatibo bat daukapuntuan.puntuan negatibo izatetik positibo izatera pasatzen bada, funtzioak minimo erlatibo bat daukapuntuan.f '(x) funtzioaren zeinua,puntuan aldatzen ez bada, funtzioak inflexio-puntu bat dauka

 

f "(x) bigarren deribatuarekin:

- Ahurtasuna eta ganbiltasuna : --entzat, f "(x) > 0 bada, y = f(x) funtzioa 0 (a,b) tartean ahurra da. Beraz, f'(x o ) = 0 eta f "(x) > 0 badira, funtzioak,puntuan, minimo erlatibo bat dauka.-entzat, f"(x) < 0 bada, y = f(x) funtzioa (a,b) tartean ganbila da. Beraz,eta f "(x) < 0 badira, funtzioak,puntuan, maximo erlatibo bat dauka.

- Inflexio-puntua : f "(x o ) = 0 bada etabada etaedo beste edozein deribatu bakoitiren baliopuntuan zero ez bada, y = f(x) funtzioak,puntuan, inflexio puntu bat dauka.• Adibideak :1. Azter ezazufuntzioa.- f-ren izate-eremua : E = R- Simetria : f bikoitia da,delako.- Asintotak eta adarrak :- Ardatzekiko ebaki-puntuak :x = 0 ; f(0) = 0- Tarte gorakor/beherakorrakinserted textdenean bakarrik egingo da.tartean denez, f funtzioatartean hertsiki gorakorra da.f ' (x) < 0, (0,1) tartean denez, f funtzioa [0,1 ] tartean hertsiki beherakorra da.- Maximo eta minimo erlatiboak; funtzioak maximo bat dauka x = 0 puntuan; funtzioak minimo bat dauka x = 1 puntuan.- Tarte ahur/ganbilakf"(x)<0 datartean, beraz, f funtzioa ganbila datartean..  ´´ (x) > 0 datartean, beraz, f funtzioa ahurra da

 

- Inflexio-puntuak

puntuan, funtzioak inflexio-puntu bat dauka, puntu horretan funtzioa, ganbila izatetik ahurra izatera pasatzen delako.

- TaulaFuntzio honi dagokion grafikoa hau da.2. Irudika ezazufuntzioa.

Funtzio hau horrela idatzi daiteke :- f-ren izate-eremua : E = R* = R - {0}- Simetria: ez dauka.- Asintotak hauek dira : x = 0 eta y = x - 1- Funtzioa izate-eremu osoan jarraia da.-puntuan alboetako limiteak hauek dira :- Ardatzekiko ebaki-puntuak :Ardatzak ez ditu ebakitzen ; izan ere, x > 0 denean y > 0 da, eta x < 0 denean, y < 0 da.- Tarte gorakor/beherakorrak eta maximo/minimoak :Lehenengo deribatua y'= 1 -X da.da., beraz f gorakorra daetatartetan.edoberaz f funtzioak maximo bat daukapuntuan, eta minimo bat daukapuntuan, gero bigarren deribatua lantzerakoan ikusi daiteken bezala., beraz f beherakorra daetatartetan.- Tarte ahur/ganbilak eta inflexio-puntuak :Bigarren deribatua :da y " > 0 (x > 0, beraz f ahurra da R , -ny "= 0 ez du soluziorik, beraz ez dauka inflexio punturik.y " < 0 (x < 0, beraz f ganbila da R-n-TaulaFuntzio honi dagokion grafikoa hau da.3. Azter ezazufuntzioa- Izate-eremua : E = R- Simetria :beraz f bikoitia da.- Asintotak : Horizontala-rantz eta-rantz doanean.- Ardatzekiko ebaki-puntuak :OY ardatza (0,1) puntuan ebakitzen duOX ardatza ez du ebakitzen, izan ere-entzat f(x) > 0 da.- Tarte gorakor/beherakorrakf '(x) > 0, x < 0 denean denez, f funtzioatartean gorakorraf '(x)< 0, x > 0 denean denez, f funtzioatartean beherakorra da.- Maximo eta minimo erlatiboak(0,1) puntua maximo erlatiboa da- Tarte ahur/ganbilakdenean izango da.f --aren zeinuafuntzioarena izango da, beraz : f´´(x) > 0 daetatarteetan, beraz, f funtzioa,tarte horietan, ahurra da..  "(x) < 0 datartean, beraz, f funtzioa, tarte horretan, ganbila da.- Inflexio-puntuak :etapuntuetan ahurtasuna/ganbiltasuna aldatzen denez, 3 puntu horiek inflexio-puntuak dira.- TaulaFuntzio honi dagokion grafikoa hau da :4. Azter ezazu f(x) = x - sin x funtzioa- Izate-eremua: Zenbaki erreal guztiak- Simetria : f(-x) = - f(x). Funtzio hau bakoitia da.- Asintotak : Ez dauka asintotarik, nahiz etaizan, baina gerokalkulatzerakoan, limitea indeterminatuadeia ateratzen da.- Ardatzekiko ebaki-puntuak : P(O,O)- Periodikotasunadela egiaztatu arren, funtzio hau ez da periodikoa.- Tarte gorakor/beherakorrakda ; beraz beti gorakorra da eta ez dauka ez maximo ez minimo erlatiborik.- Bigarren deribatua : f "(x) = sin x da, etadenean, anulatu egiten da,puntu horiek inflexio-puntuak dira, izan ere balio horietanda.- TaulaFuntzio honi dagokion grafikoa hau da :

 

IV Ezagunak diren funtzio batzuetatik abiatuz, beste funtzio batzuk irudikatzeko era

Askotan, funtzio batzuk, ezagunak diren beste funtzio batzuk erabiliz eraiki daitezke, baina bi funtzio horiek, funtzioen arteko eragiketen bidez elkarrekin erlazionaturik egon behar dute.Besteren artean hiru kasu hauek aipatuko dira :1. Aurkako funtzioak2. Alderantzizko funtzioak3. Balio absolutu funtzioak

 

1. Aurkako funtzioak

Aurkako diren bi funtzio, OX ardatzarekiko simetrikoak dira.

Bietariko bat ezagutuz gero, bestea, simetriaren bidez eraikitzen da.• Adibidea:1. Irudika itzazueta g(x) _ - sin x funtzioak.

Bi funtzio hauek,eta (-g)(x) = sin x funtzioen aurkakoak dira. Beraz, hauen grafikoak, -f eta -g Funtzioak ezagutzen direnez, 20 irudikoak dira.

 

2. Alderantzizko funtzioak

Alderantzizko diren bi funtzio, lehenengo eta hirugarren koadranteko erdikariarekiko simetrikoak dira. Bietariko bat ezagutuz gero, bestea, simetriaren bidez eraikitzen da.• Adibidea:1. Irudika itzazu bi funtzio hauek :Bi funtzio hauek R -etan definitutakoeta R-tan definitutakofuntzioen alderantzizko funtzioak dira. Beraz,etagrafikoak ezagutuz, eskatutakoak 21. Irudiko (a) eta (b) dira :

 

3. Balio absolutu funtzioa

f funtzioa ezagutuz, Ifl funtzioa eraiki behar da. Horretarako, f eraiki ondoren, f-ren zati negatiboa, OX ardatzarekiko simetriaren bidez irudikatuko da.• Adibidea:1. Irudika itzazu funtzio hauek :Bi funtzio hauek, y = x - 1 eta y = sin x funtzioen balio absolutu funtzioak dira. Beraz, f eta g funtzioen grafikoak ezagutuz, eskatutakoak 22. irudiko (a) eta (b) dira :

 

- Ariketak

1. Azter eta irudika ezazufuntzioa.

2. Azter eta irudika ezazufuntzioa.

3. Azter eta irudika ezazufuntzioa.4. Azter eta irudika ezazu

 

Ebazpide edo soluzioak :

1.2.3.4.

 

Euskadi, bien común